1987 年考研数学（一）第 19 题

填空题 · 2 分

三个箱子，第一个箱子中有

4

个黑球

1

个白球，第二个箱子中有

3

个黑球

3

个白球，第三个箱子中有

3

个黑球

5

个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出

1

个球，这个球为白球的概率等于 ___。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 ___.

提示 1

先设「取到第

i

个箱子」与「取出白球」两类事件，注意选箱子是等可能的。

提示 2

第一问「白球概率」用全概率公式：对三个箱子加权求和。

提示 3

第二问是已知结果反推原因，用贝叶斯公式（第一问的结果正好做分母）。

答案与详解

答案 $\frac{53}{120}$ ； $\frac{20}{53}$

思路（为什么这么做）

「先选箱子再摸球」是两阶段随机试验：第一阶段等概率、第二阶段条件概率已知，正是全概率公式的模型。求白球总概率对三种箱子加权相加；再问「已知白球来自第二箱」属于执果索因，用贝叶斯公式，分母恰是刚算出的

P (B)

。

解答

分析：设

A_{i} = {

取到第

i

个箱子

} (i = 1, 2, 3)

，

B = {

取出白球

}

。第一问用全概率公式，第二问用贝叶斯公式。

P (A_{1}) = P (A_{2}) = P (A_{3}) = \frac{1}{3}

；

P (B ∣ A_{1}) = \frac{1}{5}, P (B ∣ A_{2}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, P (B ∣ A_{3}) = \frac{5}{8}

。

由全概率公式

P (B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{53}{120} .

由贝叶斯公式

P (A_{2} ∣ B) = \frac{P ( A _{2} ) P ( B ∣ A _{2} )}{P ( B )} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{53}{120}} = \frac{20}{53} .

1987 年考研数学（一） 第 19 题