1987 年考研数学（一） 第 20 题

指数上是 $x$ 的二次式，强烈提示这是正态分布，配方 $-x^2+2x-1=-(x-1{)}^2$ 是关键一步。再把系数 $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$ 写成 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$ 的形式，即可反解出 ${\sigma }^2=\frac{1}{2}$、$\mu =1$，从而免去积分直接读出期望与方差。

分析：将指数配方，把密度化成正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的标准形式，直接读出 $\mu ,{\sigma }^2$。

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-(x-1{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\exp \left[-\frac{(x-1{)}^2}{2\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2}\right],$$
对照正态密度知 $X\sim N\left(1,\frac{1}{2}\right)$。

故 $E(X)=1$，$D(X)=\frac{1}{2}$。