1987 年考研数学（一） 第 21 题

求 $Z=2X+Y$ 的密度，卷积公式在 $2X$ 处稍绕，用分布函数法更稳妥：先算 $F_Z(z)={\iint }_{2x+y\le z}fdxdy$ 再求导。难点在直线 $2x+y=z$ 扫过矩形条 $0<x<1,y>0$ 时，交集在 $z=0,2$ 处改变形态，故按 $z<0$、$0\le z<2$、$z\ge 2$ 三段积分，逐段求导即得分段密度。

分析：由独立性写出联合密度，用分布函数法 $F_Z(z)=P\{2X+Y\le z\}$ 按 $z$ 分段积分，再求导得密度。

由独立性，$(X,Y)$ 的联合密度为
$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-y},& 0<x<1,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$
于是 $F_Z(z)=P\{2X+Y\le z\}={\iint }_{2x+y\le z}f(x,y)dxdy$。

当 $z<0$ 时，$F_Z(z)=0$。
当 $0\le z<2$ 时，
$$F_Z(z)={\int }_0^{z/2}dx{\int }_0^{z-2x}{\mathrm{e}}^{-y}dy={\int }_0^{z/2}(1-{\mathrm{e}}^{2x-z})dx=\frac{z}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-z}.$$

当 $z\ge 2$ 时，
$$F_Z(z)={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{z-2x}{\mathrm{e}}^{-y}dy={\int }_0^1(1-{\mathrm{e}}^{2x-z})dx=1-\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^2-1){\mathrm{e}}^{-z}.$$

对 $z$ 求导，得
$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z<0,\\ \frac{1}{2}(1-{\mathrm{e}}^{-z}),& 0\le z\le 2,\\ \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-z}({\mathrm{e}}^2-1),& z>2.\end{array}$$