1987 年考研数学（一） 第 8 题

看到 $\mathbf{AB}=\mathbf{A}+2\mathbf{B}$ 这类矩阵方程，思路是「移项、提公因子、求逆」。提公因子的易错点在于 $2\mathbf{B}=2\mathbf{E}\mathbf{B}$，必须补上单位矩阵才能合并。凑出 $(\mathbf{A}-2\mathbf{E})\mathbf{B}=\mathbf{A}$ 后，只要系数矩阵可逆就能解出 $\mathbf{B}$。

分析：把 $\mathbf{B}$ 从矩阵方程中解出。由 $\mathbf{AB}=\mathbf{A}+2\mathbf{B}$ 得 $(\mathbf{A}-2\mathbf{E})\mathbf{B}=\mathbf{A}$，故 $\mathbf{B}=(\mathbf{A}-2\mathbf{E}{)}^{-1}\mathbf{A}$。

$\mathbf{A}-2\mathbf{E}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$。用初等行变换求逆，得
$$(\mathbf{A}-2\mathbf{E}{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 2& -2& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right).$$

于是
$$\mathbf{B}=(\mathbf{A}-2\mathbf{E}{)}^{-1}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 2& -2& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& -2& -2\\ 4& -3& -2\\ -2& 2& 3\end{array}\right).$$