1987 年考研数学（一） 第 7 题

关键是识别复合结构：$f$ 有两个中间变量、$g$ 只有一个，因而 $\partial u/\partial x$ 是两项之和、$\partial v/\partial x$ 是单项。对含 $x$ 的中间变量 $xy$ 求偏导时把 $y$ 视为常数，得系数 $y$ 与 $1+y$。结果保留成 $f_1^{\prime },f_2^{\prime },g^{\prime }$ 的抽象形式即可，不必也无法进一步展开。

分析：$u=f(x,xy)$ 是二元函数 $f$ 与中间变量 $x,xy$ 的复合，用多元复合函数链式法则；$v=g(x+xy)$ 是一元函数 $g$ 与 $x+xy$ 的复合。

记 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 分别为 $f$ 对第一、第二个变量的偏导数。对 $u=f(x,xy)$，
$$\frac{\partial u}{\partial x}=f_1^{\prime }\cdot 1+f_2^{\prime }\cdot y=f_1^{\prime }+y{f}_2^{\prime }.$$

对 $v=g(x+xy)$（$g$ 为一元函数），
$$\frac{\partial v}{\partial x}=g^{\prime }\cdot (1+y).$$

故
$$\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=g^{\prime }(f_1^{\prime }+y{f}_2^{\prime })(1+y).$$