1987 年考研数学（一） 第 6 题

极限为有限非零，意味着分子分母必须是同阶无穷小，这是破题核心。分子用变限求导估出是三阶无穷小 $\sim x^3$；而 $bx-\sin x=(b-1)x+\frac{x^3}{6}+\cdots$，只有 $b=1$ 才消去一阶项使分母也成三阶。定下 $b$ 后极限化为只含 $a$ 的表达式，令其为 $1$ 即得 $a$。

分析：先用洛必达法则（变限积分求导）确定分子的阶，再由分母 $bx-\sin x$ 须与分子同阶定出 $b$，最后定出 $a$。

先估计分子的阶。由洛必达法则
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x\frac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}dt}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{\sqrt{a+x^2}}}{3x^2}=\frac{1}{3\sqrt{a}},$$
故 ${\int }_0^x\frac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}dt\sim \frac{1}{3\sqrt{a}}{x}^3(x\to 0)$，即分子为 $x$ 的三阶无穷小。

由 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ 知 $bx-\sin x=(b-1)x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。欲使极限为有限非零值，分母也须为三阶无穷小，故必有 $b=1$，此时 $bx-\sin x=x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$。

于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{bx-\sin x}{\int }_0^x\frac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}dt=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{3\sqrt{a}}{x}^3}{x-\sin x}=\frac{1}{3\sqrt{a}}\cdot \frac{1}{1/6}=\frac{2}{\sqrt{a}}.$$
令 $\frac{2}{\sqrt{a}}=1$，得 $a=4$。

综上，$a=4,b=1$。