1987 年考研数学（一） 第 5 题

「在某组基下的坐标」的定义就是线性组合的系数，因此问题转化为解一个线性方程组。把各基向量按列排成矩阵、$\mathbf{\alpha }$ 作右端，用行变换一次性解出三个系数最为直接。

分析：设 $\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+x_3{\mathbf{\alpha }}_3$，解线性方程组求坐标 $(x_1,x_2,x_3)$。

对增广矩阵作初等行变换：
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right).$$

得 $x_1=1,x_2=1,x_3=-1$，即 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 下的坐标为 $(1,1,-1)$。