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1987 年考研数学（一）第 4 题

填空题 · 3 分

设

L

为取正向的圆

x^{2} + y^{2} = 9

，则曲线积分

\oint_{L} (2 x y - 2 y) d x + (x^{2} - 4 x) d y

的值为 ___.

提示 1

这是沿闭曲线的第二类曲线积分，且

P, Q

有连续偏导，考虑把它化成区域上的二重积分。

提示 2

套用格林公式，先算被积表达式

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}

。

提示 3

若这个差恰为常数，二重积分就等于该常数乘以圆盘面积。

答案与详解

答案 $- 18 π$

思路（为什么这么做）

「取正向的闭曲线」加「多项式型

P, Q

」是套用格林公式的典型信号，比直接参数化积分省力。算出

Q_{x} - P_{y}

后发现它是常数，于是二重积分退化为常数乘圆盘面积，无需真正做重积分。

解答

分析：

L

为取正向的闭曲线，用格林公式化为二重积分。

记

P = 2 x y - 2 y, Q = x^{2} - 4 x

，则

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2 x - 4) - (2 x - 2) = - 2.

由格林公式（

D

为圆盘

x^{2} + y^{2} \leq 9

，面积

9 π

）

\oint_{L} (2 x y - 2 y) d x + (x^{2} - 4 x) d y = \iint_{D} (- 2) d x d y = - 2 \cdot 9 π = - 18 π .

考点：格林公式、第二类曲线积分（对坐标）

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