1987 年考研数学（一） 第 3 题

围成图形的信号是「对数曲线 + 斜直线 + $x$ 轴」三条边界，画图后发现顶点在交点 $(e,1)$：左段上边界是 $\ln x$、右段是斜线，故以 $x=e$ 为界把面积拆成两块分别积分。求交点是关键第一步，它同时给出分块位置。也可改用对 $y$ 积分把区域看成水平条，避免分段。

分析：先求曲线与直线的交点，再分块对 $x$ 积分求面积。

由 $\ln x=(e+1)-x$ 解得 $x=e$，即曲线 $y=\ln x$ 与直线 $y=(e+1)-x$ 交于点 $(e,1)$。又 $y=\ln x$ 交 $x$ 轴于 $(1,0)$，直线 $y=(e+1)-x$ 交 $x$ 轴于 $(e+1,0)$。

面积
$$A={\int }_1^e\ln xdx+{\int }_e^{e+1}[(e+1)-x]dx.$$

其中 ${\int }_1^e\ln xdx=[x\ln x-x{]}_1^e=1$，${\int }_e^{e+1}[(e+1)-x]dx=(e+1)-\frac{(e+1{)}^2-e^2}{2}=\frac{1}{2}$。故 $A=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。