1987 年考研数学（一） 第 2 题

这是标准的求极值问题，思路是「驻点 → 符号判别」。对乘积 $x\cdot 2^x$ 求导时提出公因子 $2^x$，由于 $2^x>0$，方程 $y^{\prime }=0$ 就化简成一个一次方程，驻点唯一。再看导数符号由负变正，即知该点为极小值。

分析：求驻点，再用一阶导数在驻点两侧的符号判定极小值。

$y^{\prime }=2^x+x\cdot 2^x\ln 2=2^x(1+x\ln 2)$。令 $y^{\prime }=0$，因 $2^x>0$，得 $1+x\ln 2=0$，即 $x=-\frac{1}{\ln 2}$。

当 $x<-\frac{1}{\ln 2}$ 时 $y^{\prime }<0$；当 $x>-\frac{1}{\ln 2}$ 时 $y^{\prime }>0$。故 $x=-\frac{1}{\ln 2}$ 时函数 $y=x\cdot 2^x$ 取得极小值。