1987 年考研数学（一） 第 1 题

关键信号是「与两直线都平行」，它等价于平面法向量同时垂直于两条直线的方向向量。要找同时垂直于两个已知向量的向量，就用向量积。方向向量从直线方程直接读出，叉乘得法向量；而「过原点」意味着方程无常数项，直接写出即可。

分析：所求平面与两条已知直线都平行，故其法向量同时垂直于两直线的方向向量，可取两方向向量的向量积作为法向量；再由平面过原点定出方程。

第一条直线 $\{\begin{array}{l}x=1,\\ y=-1+t,\\ z=2+t\end{array}$ 的方向向量 ${\mathbf{s}}_1=\{0,1,1\}$；第二条直线 $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$ 的方向向量 ${\mathbf{s}}_2=\{1,2,1\}$。

取法向量
$$\mathbf{n}={\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=\{-1,1,-1\}.$$

又平面过原点，故所求平面方程为 $-x+y-z=0$，即 $x-y+z=0$。