2026 年考研数学（三） 第 7 题

矩阵等式「判断哪个错」→ 先变形出关键结构（此处 $(A-B{)}^2=O$，幂零），再逐项套用幂零性质。坑：$C^2=O\Rightarrow r(C)\le \lfloor n/2\rfloor$，特征向量个数 $n-r(C)$ 不唯一；「只有一个线性无关特征向量」是过强断言，可举 $r(C)=1$ 的反例（2 个）推翻。

本题考查矩阵恒等变形与幂零矩阵的特征值/特征向量性质。 移项：$A^2-AB+B^2-BA=O$，即 $A(A-B)-B(A-B)=O$，故 $(A-B{)}^2=O$。记 $C=A-B$，则 $C^2=O$ 且 $C\ne O$。

A 正确： $C^3=C^2\cdot C=O$。B 正确： $C^2=O\Rightarrow$ 特征值 $\lambda$ 满足 ${\lambda }^2=0$，故 $C$ 只有零特征值。C 正确： 若 $A,B$ 都是对角阵，则 $C$ 为对角阵，$C^2=O$ 迫使 $C=O$，与 $A\ne B$ 矛盾，故不能都是对角阵。

D 错误： $C$ 只有零特征值，线性无关特征向量个数 $=3-r(C)$。$C^2=O$ 只保证 $r(C)\le 1$，未必 $r(C)=1$。例如 $C=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 满足 $C^2=O$，但 $r(C)=1$，有 $3-1=2$ 个线性无关特征向量。故「只有一个」不一定成立，选 D。