2026 年考研数学（三） 第 8 题

求 $P\{XY\le c\}$（正值随机变量）→ 写联合密度并把区域化成 $y\le c/x$，先内后外二次积分。坑：只在 $x>0,y>0$ 处密度非零，积分限从 $0$ 起；内层积出 $1/(x+1)$ 后与 $(1+x{)}^{-2}$ 合并成 $(1+x{)}^{-3}$。

本题考查用二维联合密度计算区域概率（两随机变量之积）。 由独立性，联合密度 $f(x,y)=\frac{1}{(1+x{)}^2(1+y{)}^2}$（$x>0,y>0$，其余为 $0$）。

在第一象限内 $XY\le 1$ 即 $0<y\le \frac{1}{x}$，故 $P\{XY\le 1\}={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{(1+x{)}^2}\left({\int }_0^{1/x}\frac{1}{(1+y{)}^2}\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x$。

内层 ${\int }_0^{1/x}\frac{\mathrm{d}y}{(1+y{)}^2}=1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{x+1}$。于是原式 $={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{(1+x{)}^3}\mathrm{d}x={\left[-\frac{1}{2}\frac{1}{(1+x{)}^2}\right]}_0^{+\infty }=\frac{1}{2}$，选 B。