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2026 年考研数学（三）第 9 题

选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim N (0, 1)

，随机变量

Y \sim B (2, \frac{1}{2})

，且

X

与

Y

独立，则

X Y

与

X + Y

的相关系数为（　　）。

A $\frac{6}{3}$
B $\frac{2}{2}$
C $\frac{2}{3}$
D $\frac{1}{2}$

提示 1

先列全

X, Y

的

E, D, E (\cdot^{2})

：

N (0, 1)

与

B (2, \frac{1}{2})

。

提示 2

Cov (X Y, X + Y)

展开成

E (X^{2} Y), E (X Y^{2})

等，用独立性把期望拆开，结果

= D X E Y + E X D Y

。

提示 3

D (X Y) = E X^{2} E Y^{2} - (E X E Y)^{2}

，

D (X + Y) = D X + D Y

，再代入

ρ

公式。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

求

X Y

与

X + Y

相关系数 → 独立性把混合矩全部拆成边缘矩再套

ρ = Cov / D D

。坑：

E (X^{2} Y) = E X^{2} E Y

等需独立才成立；

E X = 0

让很多交叉项消失，

Cov

恰好化简为

D X E Y + E X D Y

。

解答

本题考查协方差、方差的展开与独立性的利用。 数字特征：

X \sim N (0, 1)

有

E X = 0, D X = 1, E X^{2} = 1

；

Y \sim B (2, \frac{1}{2})

有

E Y = 1, D Y = \frac{1}{2}, E Y^{2} = D Y + (E Y)^{2} = \frac{3}{2}

。

协方差： 由独立性

Cov (X Y, X + Y) = Cov (X Y, X) + Cov (X Y, Y) = E (X^{2} Y) - E (X Y) E X + E (X Y^{2}) - E (X Y) E Y

，代入独立拆分

= D X \cdot E Y + E X \cdot D Y = 1 \times 1 + 0 \times \frac{1}{2} = 1

。

两个方差：

D (X Y) = E (X^{2}) E (Y^{2}) - (E X E Y)^{2} = 1 \times \frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2}

；

D (X + Y) = D X + D Y = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。故

ρ = \frac{Cov}{D ( X Y ) D ( X + Y )} = \frac{1}{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{2}{3}

，选 C。

考点：协方差与相关系数、数学期望

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