2026 年考研数学（三） 第 10 题

两几何分布叠加的尾概率比较 → 老实用等比级数求 $P\{X>m\}$，再作差判号，不能想当然套无记忆性。坑：$\frac{1}{2^{k+1}}$ 与 $\frac{1}{3^k}$ 两个几何项衰减率不同，混合后严格丧失无记忆性，条件概率反而更大（选 D 的严格不等号）。

本题考查离散型分布尾概率与条件概率的比较。 用等比级数求尾概率：$P\{X>m\}=\sum _{k=m+1}^{\infty }\left(\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^k}\right)=\frac{1}{2^{m+1}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3^m}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^m}+\frac{1}{3^m}\right)$。

由条件概率 $P\{X>m+n\mid X>m\}=\frac{P\{X>m+n\}}{P\{X>m\}}=\frac{\frac{1}{2^{m+n}}+\frac{1}{3^{m+n}}}{\frac{1}{2^m}+\frac{1}{3^m}}$。

与 $P\{X>n\}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)$ 作差，通分化简得 $P\{X>m+n\mid X>m\}-P\{X>n\}=\frac{\left(3^m-2^m\right)\left(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}\right)}{2\left(3^m+2^m\right)}>0$（因 $3^m>2^m$ 且 $\frac{1}{2^n}>\frac{1}{3^n}$）。故选 D。