2026 年考研数学（三） 第 11 题

多项式定积分先看对称性：若能平移到关于原点对称、被积成奇函数，则积分直接为 $0$。坑：识别对称中心 $x=\frac{1}{2}$（三因子平均），换元后区间要同步变成 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$。

本题考查定积分的对称性（奇偶性）技巧。 被积函数关于 $x=\frac{1}{2}$ 对称，作平移 $x=t+\frac{1}{2}$，$\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$，积分限变为 $t\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$。

此时 $x=t+\frac{1}{2},x-1=t-\frac{1}{2},x-\frac{1}{2}=t$，故被积函数 $=\left(t+\frac{1}{2}\right)\left(t-\frac{1}{2}\right)t=\left(t^2-\frac{1}{4}\right)t=t^3-\frac{1}{4}t$，为奇函数。

奇函数在对称区间 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ 上积分为 $0$，故原式 $=0$。