2026 年考研数学（三） 第 12 题

含 $\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}$ 型 → 先通分把 $\cos x$ 凑进分子，再泰勒展开到 $x^2$。坑：$\sqrt{1+x^2}$ 与 $\cos x$ 的 $x^2$ 系数一正一负（$+\frac{1}{2}$ 与 $-\frac{1}{2}$），相减刚好留下 $x^2$，不能只用一阶等价无穷小（会丢项）。

本题考查用泰勒展开求 $0/0$ 型极限。 先通分：$\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}=\frac{\sqrt{1+x^2}-\cos x}{\sin x}$，故原式 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x^2}-\cos x}{x\sin x}$。

分母 $x\sin x\sim x^2$。分子用麦克劳林：$\sqrt{1+x^2}=1+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，相减得 $\sqrt{1+x^2}-\cos x=x^2+o(x^2)$。

因此 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+o(x^2)}{x^2}=1$。