2026 年考研数学（三） 第 13 题

同时有瑕点与无穷限的反常积分 → 必须分段，各段用等价无穷小把被积函数比成 $x^{-\alpha }$ 再套 $p$-判别法。坑：$x\to 0$ 用 $\arctan x\sim x$（指数降 1），$x\to \infty$ 用 $\arctan x\to \pi /2$（当常数）；两段临界指数一个要 $<1$、一个要 $>1$，取交集得 $0<p<2$。

本题考查反常积分收敛性（既有瑕点 $x=0$ 又有无穷限）。 拆成 ${\int }_0^1+{\int }_1^{+\infty }=I_1+I_2$，两段都要收敛。

瑕积分 $I_1$（$x\to 0^{+}$）： $\arctan x\sim x$，故 $\frac{\arctan x}{x^p(x+1)}\sim \frac{x}{x^p}=\frac{1}{x^{p-1}}$。依 $p$-判别法，$I_1$ 收敛 $⟺p-1<1⟺p<2$。

无穷限 $I_2$（$x\to +\infty$）： $\arctan x\to \frac{\pi }{2}$，故 $\frac{\arctan x}{x^p(x+1)}\sim \frac{\pi /2}{x^{p+1}}$。$I_2$ 收敛 $⟺p+1>1⟺p>0$。综上 $0<p<2$。