2026 年考研数学（三） 第 14 题

二阶常系数非齐次 → 特征根定齐次解 + 待定系数定特解 + 初值定常数。坑：$r=0$ 是根时齐次解含常数 $C_2$（别漏）；判断 ${\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 的 $\lambda$ 是否为特征根决定要不要乘 $x$（本题 $\lambda =1$ 非根，不用乘）。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。 齐次方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }=0$ 的特征方程 $r^2-2r=0$，根 $r_1=0,r_2=2$，故齐次通解 $y=C_1{\mathrm{e}}^{2x}+C_2$。

自由项 ${\mathrm{e}}^x$ 中 $\lambda =1$ 不是特征根，设特解 $y^{\ast }=A{\mathrm{e}}^x$，代入得 $A{\mathrm{e}}^x-2A{\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x$，即 $-A=1$，$A=-1$。故通解 $y=C_1{\mathrm{e}}^{2x}+C_2-{\mathrm{e}}^x$。

代入初值：$y(0)=C_1+C_2-1=1$，$y^{\prime }=2C_1{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^x$，$y^{\prime }(0)=2C_1-1=1\Rightarrow C_1=1$，从而 $C_2=1$。所求解 $y={\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^x+1$。