2026 年考研数学（三） 第 15 题

「$A{A}^{\mathsf{T}}$ 二次型的规范形」这类题 → 规范形项数 = 秩，$r(A{A}^{\mathsf{T}})=r(A)$。坑：$A{A}^{\mathsf{T}}$ 半正定，规范形只会是正项个数 = $r(A)$；$r(A)=1$ 转成「行成比例」列方程，注意三组比值都要一致才自洽。

本题考查「规范形 ⟹ 矩阵秩」的判断。 二次型 ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}(A{A}^{\mathsf{T}})\mathbf{x}$ 的规范形只有一个正平方项 $y_1^2$，说明 $A{A}^{\mathsf{T}}$ 正惯性指数为 $1$、秩为 $1$，故 $r(A)=r(A{A}^{\mathsf{T}})=1$。

$A$ 是 $2\times 3$ 矩阵，$r(A)=1$ 即两行对应成比例：$\frac{1}{a+2}=\frac{b}{3}=\frac{-1}{-3a}=\frac{1}{3a}$。

由 $\frac{1}{a+2}=\frac{1}{3a}$ 得 $3a=a+2$，$a=1$；再由 $\frac{b}{3}=\frac{1}{3a}=\frac{1}{3}$ 得 $b=1$。故 $a+b=2$。