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2026 年考研数学（三）第 16 题

填空题 · 5 分

设随机变量

X

服从参数为

1

的泊松分布，随机变量

Y

服从参数为

3

的泊松分布，

X

与

Y - X

相互独立，则

E (X Y) =

______。

提示 1

泊松分布关键性质：期望 = 方差（

E X = D X = 1

，

E Y = D Y = 3

）。

提示 2

「

X

与

Y - X

独立」⟹

Cov (X, Y - X) = 0

，展开得

Cov (X, Y) = D X

。

提示 3

E (X Y) = Cov (X, Y) + E X E Y

。

答案与详解

答案 $4$

思路（为什么这么做）

已知「

X

与某个含

X

的组合独立」求

E (X Y)

→ 用不相关

Cov = 0

反解

Cov (X, Y)

，再

E (X Y) = Cov + E X E Y

。坑：泊松分布

E = D = λ

；

Cov (X, Y - X) = Cov (X, Y) - D X

里的

Cov (X, X) = D X

别漏。

解答

本题考查协方差与期望乘积公式的联用。 泊松分布期望等于方差：

E X = D X = 1

，

E Y = D Y = 3

。

由

X

与

Y - X

独立 ⟹ 不相关，故

Cov (X, Y - X) = Cov (X, Y) - Cov (X, X) = Cov (X, Y) - D X = 0

，得

Cov (X, Y) = D X = 1

。

再由

Cov (X, Y) = E (X Y) - E X \cdot E Y

，得

E (X Y) = Cov (X, Y) + E X \cdot E Y = 1 + 1 \times 3 = 4

。

考点：协方差与相关系数、数学期望

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