2026 年考研数学（三） 第 17 题

含 ${\int }_a^{b}f$ 的函数方程 → 该积分是常数，设为 $A$ 先两边积分定 $A$。展开 $\frac{1}{(2-x{)}^2}$：凑几何级数 $\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x/2}$ 再逐项求导。坑：提出 $\frac{1}{2}$ 保证是标准 $\frac{1}{1-u}$；收敛域 $|x|<2$；常数项 $-\frac{1}{4}$ 别忘并进结果。

本题考查用「先定常数、再逐项求导」把有理函数展开成幂级数。 注意 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ 是常数，记为 $A$，则 $f(x)=\frac{1}{(2-x{)}^2}-A$。

第一步：定常数 $A$。 两边在 $[0,1]$ 上积分：$A={\int }_0^1\frac{1}{(2-x{)}^2}\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}A\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{2-x}\right]}_0^1-A=\left(1-\frac{1}{2}\right)-A=\frac{1}{2}-A$，解得 $A=\frac{1}{4}$。

第二步：展开 $\frac{1}{(2-x{)}^2}$。 由 $\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^n(|x|<2)$，逐项求导：$\frac{1}{(2-x{)}^2}={\left(\frac{1}{2-x}\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^{n+1}}{x}^{n-1}$。

结论： $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^{n+1}}{x}^{n-1}-\frac{1}{4},|x|<2$。