2026 年考研数学（三） 第 18 题

变限积分被积函数里含外层变量 $x$ → 必须先换元 $u=xt$ 把 $x$ 提到积分号外，再求导。坑：换元后是 $\frac{1}{x}{\int }_0^{x^3}g$，$x=0$ 是分母零点，该点导数须用定义（配合洛必达），最后验证 $\lim f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)$ 才能下「连续」结论。

本题考查含参变量的变限积分：先换元「固定被积变量」，再求导，并用定义处理 $x=0$。 当 $x\ne 0$ 时令 $u=xt$（$x$ 视为常数），$\mathrm{d}u=x\mathrm{d}t$，$t:0\to x^2$ 时 $u:0\to x^3$，故 $f(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u$。

求导（$x\ne 0$）： 对 $f(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u$ 用乘积/商法则，$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u+\frac{1}{x}\cdot g(x^3)\cdot 3x^2=3xg(x^3)-\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u$。

在 $x=0$ 处用定义： $f(0)=0$，$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u}{x^2}\stackrel{\text{洛必达}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^{2}g(x^3)}{2x}=0$。故 $f^{\prime }(0)=0$。

连续性： $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }3xg(x^3)-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^3}g(u)\mathrm{d}u}{x^2}=0-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^{2}g(x^3)}{2x}=0=f^{\prime }(0)$，所以 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续。