2026 年考研数学（三） 第 19 题

二元无条件极值标准流程：解 $f_x^{\prime }=f_y^{\prime }=0$ 定驻点 → 算 $A,B,C$ → 用 $AC-B^2$ 判别。坑：${\mathrm{e}}^x>0$ 恒正可整体约去只看括号；$(0,0)$ 处 $AC-B^2<0$ 是鞍点（非极值），只有 $(-2,0)$ 给极大值 $8/{\mathrm{e}}^2$。

本题考查二元函数无条件极值：驻点 + $AC-B^2$ 判别法。 求一阶偏导：$f_x^{\prime }=4x{\mathrm{e}}^x+\left(2x^2-y^2\right){\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x\left(2x^2+4x-y^2\right)$，$f_y^{\prime }=-2y{\mathrm{e}}^x$。

求驻点： $f_y^{\prime }=0\Rightarrow y=0$；代入 $f_x^{\prime }=0$ 得 $2x^2+4x=0$，即 $x=0$ 或 $x=-2$。故驻点为 $(0,0)$ 与 $(-2,0)$。

二阶偏导： $A=f_{xx}^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^x\left(2x^2+8x+4-y^2\right)$，$B=f_{xy}^{\prime \prime }=-2y{\mathrm{e}}^x$，$C=f_{yy}^{\prime \prime }=-2{\mathrm{e}}^x$。

判别： 在 $(0,0)$：$AC-B^2=4\times (-2)-0=-8<0$，非极值点（鞍点）。在 $(-2,0)$：$A=-4{\mathrm{e}}^{-2}<0$，$AC-B^2=(-4{\mathrm{e}}^{-2})(-2{\mathrm{e}}^{-2})-0=8{\mathrm{e}}^{-4}>0$，为极大值点，极大值 $f(-2,0)=\left(2\cdot 4-0\right){\mathrm{e}}^{-2}=\frac{8}{{\mathrm{e}}^2}$。