2026 年考研数学（三） 第 20 题

矩形域二重积分且被积函数对 $y$ 可凑微分 → 先对 $y$（$y\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\mathrm{d}(y^2)$）降幂，外层用标准公式 $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln (x+\sqrt{a^2+x^2})$。坑：下限 $x=0$ 处 $\ln (0+1)=0$、$\ln (0+\sqrt{2})=\ln \sqrt{2}$ 别丢；结果可合并成单个对数。

本题考查正方形区域上的二重积分（直角坐标累次积分）。 区域为单位正方形，化为累次积分并先对 $y$：${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^1\frac{y}{{\left(1+x^2+y^2\right)}^{3/2}}\mathrm{d}y$。

内层对 $y$（凑微分）： ${\int }_0^1\frac{y\mathrm{d}y}{{\left(1+x^2+y^2\right)}^{3/2}}=\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}(1+x^2+y^2)}{{\left(1+x^2+y^2\right)}^{3/2}}={\left[-{\left(1+x^2+y^2\right)}^{-1/2}\right]}_0^1=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{\sqrt{2+x^2}}$。

外层对 $x$： ${\int }_0^1\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{\sqrt{2+x^2}}\right)\mathrm{d}x={\left[\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\ln \left(x+\sqrt{2+x^2}\right)\right]}_0^1$。

代限： $=[\ln (1+\sqrt{2})-\ln (1+\sqrt{3})]-[\ln 1-\ln \sqrt{2}]=\ln (1+\sqrt{2})-\ln (1+\sqrt{3})+\ln \sqrt{2}=\ln \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{1+\sqrt{3}}$。