2026 年考研数学（三） 第 21 题

「$A=GH$ 求 $A^n$」满秩分解套路：$A^n=G(HG{)}^{n-1}H$，把大矩阵幂降到小矩阵 $D=HG$（本题 $2\times 2$ 上三角，幂有显式公式 $D^k=\left(\begin{array}{cc}1& -k\\ 0& 1\end{array}\right)$）。坑：$G,H$ 的行列数别写反（$G$ 是列取极大无关组、$H$ 是表示系数）；$HG$ 与 $GH$ 顺序不能颠倒。

本题考查极大线性无关组与「满秩分解 $A=GH$」求矩阵高次幂的技巧。

（1） 对 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$ 作行变换化阶梯：$A\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，故 $r(A)=2$，且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关。又验证 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1+{\alpha }_2$，${\alpha }_4={\alpha }_1-{\alpha }_2$，其余向量都能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表示，所以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是极大线性无关组。

（2）求 $H$： 由 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,-{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1-{\alpha }_2)=({\alpha }_1,{\alpha }_2)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)=GH$，故 $H={\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)}_{2\times 4}$。

求 $A^{10}$： $A^{10}=(GH{)}^{10}=G(HG{)}^{9}H=G{D}^{9}H$，其中 $D=HG={\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)}_{2\times 2}$。由归纳 $D^k=\left(\begin{array}{cc}1& -k\\ 0& 1\end{array}\right)$，故 $D^9=\left(\begin{array}{cc}1& -9\\ 0& 1\end{array}\right)$。

于是 $A^{10}=G{D}^{9}H=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\\ -1& 0\\ -1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -9\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& -8& -9& 9\\ 0& -1& -1& 1\\ -1& 9& 10& -10\\ -1& 7& 8& -8\end{array}\right)$。

注： 官方详解把第 $1$ 行第 $2$ 列印成 $8$，但由其自身给出的 $A^{10}=G{D}^{9}H$（$G$ 第一行为 $(1,1)$，$D^9=\left(\begin{array}{cc}1& -9\\ 0& 1\end{array}\right)$）及直接用 sympy/numpy 计算 $A^{10}$，该元素均为 $-8$。此处以正确结果 $-8$ 为准。