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2026 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 12 分

假设某种元件的寿命服从指数分布，其均值

θ

是未知参数。为估计

θ

，取

n

个这种元件同时做寿命试验，试验到出现

k

（

1 \leq k \leq n

）个元件失效时停止。

（1）若

k = 1

，失效元件的寿命记为

T

，（i）求

T

的概率密度；（ii）确定

a

，使得

\hat{θ} = a T

是

θ

的无偏估计，并求

D (\hat{θ})

；

（2）已知

k

个失效元件的寿命值分别为

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{k}

，且

t_{1} \leq t_{2} \leq \dots \leq t_{k}

，似然函数为

L (θ) = \frac{1}{θ ^{k}} e^{- \frac{1}{θ} [\sum_{i = 1}^{k} t_{i} + (n - k) t_{k}]}

，求

θ

的最大似然估计值。

提示 1

（1)(i)

k = 1

即最先失效

T = min X_{i}

；用

F_{T} (t) = 1 - \prod P {X_{i} > t}

求分布函数再求导。

提示 2

（1)(ii)

T \sim E (n / θ)

有

E T = θ / n, D T = θ^{2} / n^{2}

；无偏定

a = n

，再

D (n T) = n^{2} D T

。

提示 3

（2）对似然取对数求导令零：

- k / θ + \frac{1}{θ ^{2}} [\sum t_{i} + (n - k) t_{k}] = 0

。

答案与详解

答案（1）(i) $f_{T} (t) = {\frac{n}{θ} e^{- \frac{n}{θ} t}, 0, t > 0, t \leq 0;$ (ii) $a = n$ ， $D (\hat{θ}) = θ^{2}$ 。（2） $\hat{θ} = \frac{1}{k} i = 1 \sum k t_{i} + \frac{n - k}{k} t_{k}$

思路（为什么这么做）

指数分布寿命试验参数估计：最先失效

\to

最小值分布（指数

min

仍指数、率相加为

n / θ

）；无偏

\to

令

E (a T) = θ

定

a

；MLE

\to

取对数求导。坑：

min

的率是

n / θ

故

E T = θ / n

；

D (a T) = a^{2} D T

；MLE 对含

t_{k}

的删失似然照常

ln

后求导即可。

解答

本题考查最小值分布、无偏估计与最大似然估计。 均值为

θ

的指数分布：

f (x) = \frac{1}{θ} e^{- x / θ} (x > 0)

，

F (x) = 1 - e^{- x / θ} (x \geq 0)

。

（1）(i)

k = 1

时最先失效，

T = min {X_{1}, \dots, X_{n}}

。

F_{T} (t) = 1 - P {min > t} = 1 - \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} > t} = 1 - e^{- n t / θ} (t \geq 0)

，求导得概率密度

f_{T} (t) = \frac{n}{θ} e^{- \frac{n}{θ} t} (t > 0)

，即

T \sim E (\frac{n}{θ})

。

（1)(ii) 由指数分布

E (T) = \frac{θ}{n}

，

D (T) = \frac{θ ^{2}}{n ^{2}}

。要

\hat{θ} = a T

无偏须

E (\hat{θ}) = a \cdot \frac{θ}{n} = θ

，得

a = n

。此时

\hat{θ} = n T

，

D (\hat{θ}) = n^{2} D (T) = n^{2} \cdot \frac{θ ^{2}}{n ^{2}} = θ^{2}

。

（2） 取对数

ln L (θ) = - k ln θ - \frac{1}{θ} [i = 1 \sum k t_{i} + (n - k) t_{k}]

。令

\frac{d ln L}{d θ} = - \frac{k}{θ} + \frac{1}{θ ^{2}} [i = 1 \sum k t_{i} + (n - k) t_{k}] = 0

，解得最大似然估计值

\hat{θ} = \frac{1}{k} i = 1 \sum k t_{i} + \frac{n - k}{k} t_{k}

。

考点：最大似然估计、估计量的评价标准（无偏、有效、一致）、随机变量函数的分布

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