2026 年考研数学（三） 第 6 题

含伴随矩阵的方程 → 左乘 $A$ 用 $A{A}^{\ast }=|A|E$，再整体取行列式用 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。坑：$3$ 阶时 $|A^{\ast }|=|A{|}^2$、$|-2A|=(-2{)}^3|A|$；要甄别 $|A|=0$ 是否与「$A\ne O$ 且 $A^{\ast }=-2A$」相容（不相容，舍去）。

本题考查伴随矩阵的两条核心性质：$A{A}^{\ast }=|A|E$ 与 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。 对 $A^{\ast }=-2A$ 左乘 $A$：$A{A}^{\ast }=-2A^2$，即 $|A|E=-2A^2$，故 $A^2=-\frac{|A|}{2}E$ 是数量矩阵，排除 B、C。

两边取行列式：$|A^{\ast }|=|-2A|$。而 $|A^{\ast }|=|A{|}^{3-1}=|A{|}^2$，$|-2A|=(-2{)}^3|A|=-8|A|$，得 $|A{|}^2+8|A|=0$，即 $|A|=0$ 或 $|A|=-8$。

若 $|A|=0$，则 $A^2=O$、$r(A)\le 1$，此时 $A^{\ast }=O\ne -2A$（$A\ne O$），矛盾。故 $|A|=-8$，$A^2=-\frac{-8}{2}E=4E=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$，选 D。