2026 年考研数学（三） 第 5 题

矩阵方程 $AB=C$ 是否有解 → 按列拆成若干个 $Ax={\gamma }_i$，用相容条件 $r(A)=r(A,{\gamma }_i)$。坑：$A$ 是 $4\times 3$、$r(A)=3$，要让增广矩阵不出现第 4 个非零主元行，转化为「最后两行成比例」定参数。

本题考查矩阵方程 $AB=C$ 有解的条件。 记 $C=({\gamma }_1,{\gamma }_2)$，则 $B$ 的两列分别是 $Ax={\gamma }_1$、$Ax={\gamma }_2$ 的解，故要求 $Ax={\gamma }_i$ 都有解，即 $r(A)=r(A,{\gamma }_i)$。

对 $(A,{\gamma }_1)$ 作行变换：$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& a\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 2& -1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& -2& a-1\end{array}\right)$。要 $r=3$，需最后两行成比例：$\frac{1}{-2}=\frac{1}{a-1}$，解得 $a=-1$。

同理对 $(A,{\gamma }_2)$，把常数列换成 $(0,1,1,b{)}^{\mathsf{T}}$，得 $\frac{1}{-2}=\frac{1}{b-1}$，解得 $b=-1$。故 $a=b=-1$，选 A。