2026 年考研数学（三） 第 4 题

「加权平均价格」的经济应用 → 用微元法：金额微元 $=$ 单价 $\times$ 份额微元 $p(t)q^{\prime }(t)\mathrm{d}t$，再除以总份额 $q(T)-q(0)$。坑：分母是份额差不是时间长度 $T$；被积函数必须带 $q^{\prime }(t)$（权重），否则成了对时间的均价。

本题考查定积分的经济应用（用微元法建立累积量）。 平均价格 = 总购入金额 ÷ 总购入份额。

在 $[t,t+\mathrm{d}t]$ 内新增份额为 $\mathrm{d}q=q^{\prime }(t)\mathrm{d}t$，这部分花费金额 $\mathrm{d}W=p(t)\mathrm{d}q=p(t)q^{\prime }(t)\mathrm{d}t$。故 $[0,T]$ 内总金额 $W={\int }_0^{T}p(t)q^{\prime }(t)\mathrm{d}t$。

总购入份额为 $q(T)-q(0)$。因此平均购入价格 $=\frac{W}{q(T)-q(0)}=\frac{1}{q(T)-q(0)}{\int }_0^{T}p(t)q^{\prime }(t)\mathrm{d}t$，选 D。