2026 年考研数学（三） 第 3 题

「变上限积分定义的函数 + 反函数」→ 先用 $f(a)=0$ 定 $g(0)=a$，再用变限求导算 $f^{\prime }(a)$，最后 $g^{\prime }=1/f^{\prime }$。坑：外层上限 $x^3$ 要乘导数 $3x^2$；反函数导数的分母代入的是原自变量点 $x=1$ 而非 $0$。

本题考查变上限积分求导与反函数的导数。 先定反函数取值点：$x=1$ 时 $f(1)={\int }_1^1=0$，故 $f(1)=0$，即 $g(0)=1$，排除 C、D。

变上限积分求导：$f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{x^3}}{1+x^6}\cdot (x^3{)}^{\prime }=\frac{3x^2{\mathrm{e}}^{x^3}}{1+x^6}$，于是 $f^{\prime }(1)=\frac{3\mathrm{e}}{2}$。

反函数导数：$g^{\prime }(0)=\frac{1}{f^{\prime }(g(0))}=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{2}{3\mathrm{e}}$。故 $g(0)=1,g^{\prime }(0)=\frac{2}{3\mathrm{e}}$，选 B。