2026 年考研数学（三） 第 2 题

方程确定隐函数 $z(x,y)$ 求偏导 → 用 $\partial z/\partial x=-F_x^{\prime }/F_z^{\prime }$、$\partial z/\partial y=-F_y^{\prime }/F_z^{\prime }$。坑：$F_z^{\prime }$ 中 ${\mathrm{e}}^{y+az}$ 对 $z$ 求导要乘 $a$；本题构造成「相减」而非「相加」才能约分得 $1/a$。

本题考查由方程确定的隐函数求偏导。 令 $F(x,y,z)=x-az-{\mathrm{e}}^{y+az}$。

求三个偏导：$F_x^{\prime }=1$，$F_y^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{y+az}$，$F_z^{\prime }=-a-a{\mathrm{e}}^{y+az}=-a\left(1+{\mathrm{e}}^{y+az}\right)$。

由公式 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}=\frac{1}{a\left(1+{\mathrm{e}}^{y+az}\right)}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}=-\frac{{\mathrm{e}}^{y+az}}{a\left(1+{\mathrm{e}}^{y+az}\right)}$。

相减消去分母中的指数项：$\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1+{\mathrm{e}}^{y+az}}{a\left(1+{\mathrm{e}}^{y+az}\right)}=\frac{1}{a}$，选 A。