2026 年考研数学（三） 第 1 题

渐近线判定三连：无定义点处查铅直、$x\to \infty$ 极限有限查水平。坑：$x{\mathrm{e}}^{1/x}$ 在 $x\to 0^{-}$ 与 $0^{+}$ 极限不同（$0$ 与 $+\infty$），只要一侧为 $\infty$ 就有铅直渐近线；水平极限为 $\infty$ 时无水平线（此处另有斜渐近线，选项没问别多算）。

本题考查曲线渐近线（水平/铅直）的判定。 函数 $y=x{\mathrm{e}}^{1/x}$ 的唯一无定义点是 $x=0$，铅直渐近线只可能出现在此处。

铅直渐近线： $x\to 0^{+}$ 时令 $x=\frac{1}{t}$，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x{\mathrm{e}}^{1/x}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^t}{t}\stackrel{\text{洛必达}}{=}\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^t=+\infty$，故 $x=0$ 是铅直渐近线。（左侧 $x\to 0^{-}$ 时极限为 $0$，但只要一侧为 $\infty$ 即为铅直渐近线。）

水平渐近线： $x\to \infty$ 时 ${\mathrm{e}}^{1/x}\to 1$，$x{\mathrm{e}}^{1/x}\to \infty$，无有限极限，故无水平渐近线（此曲线实有斜渐近线 $y=x+1$，但本题不问）。综上「无水平、有铅直」，选 C。