2024 年考研数学（三） 第 9 题

正态线性组合的概率比较 → 各自标准化为 $\Phi (\text{某数})$，比数的大小。坑：$D(aX+bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)$，系数别忘平方；$N(0,2)$ 里的 2 是方差。

本题考查正态分布的线性组合与概率比较。 独立正态的线性组合仍为正态。由 $X\sim N(0,2),Y\sim N(-1,1)$ 知 $E(X)=0,D(X)=2,E(Y)=-1,D(Y)=1$。

$p_1=P\{2X>Y\}=P\{Y-2X<0\}$，其中 $Y-2X\sim N(-1,1+4\cdot 2)=N(-1,9)$，故 $p_1=\Phi \left(\frac{0-(-1)}{3}\right)=\Phi \left(\frac{1}{3}\right)$。

$p_2=P\{X-2Y>1\}=P\{2Y-X<-1\}$，其中 $2Y-X\sim N(-2,4\cdot 1+2)=N(-2,6)$，故 $p_2=\Phi \left(\frac{-1-(-2)}{\sqrt{6}}\right)=\Phi \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$。

因 $0<\frac{1}{3}<\frac{1}{\sqrt{6}}$ 且 $\Phi$ 单调增，得 $\frac{1}{2}<\Phi \left(\frac{1}{3}\right)<\Phi \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$，即 $p_2>p_1>\frac{1}{2}$。选 B。