2024 年考研数学（三） 第 8 题

求奇数阶中心矩，先看密度是否关于均值对称 → 对称则奇数阶中心矩=0。坑：务必先算出 $E(X)=1/2$，对称中心是均值。

本题考查数学期望与中心矩的计算。 先求 $E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 6x(1-x)\mathrm{d}x={\int }_0^1(6x^2-6x^3)\mathrm{d}x=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$。

三阶中心矩 $E\{[X-\frac{1}{2}{]}^3\}={\int }_0^1{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^3\cdot 6x(1-x)\mathrm{d}x$。令 $t=x-\frac{1}{2}$，被积化为 $6t^3\left(\frac{1}{4}-t^2\right)$，在对称区间 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 上为奇函数，积分为 $0$。选 B。

本质原因：密度 $6x(1-x)$ 关于 $x=\frac{1}{2}$ 对称，故任意奇数阶中心矩都为 0。