2024 年考研数学（三） 第 7 题

出现 $\pm M_{2j}$ 的组合 → 先凑成代数余子式 $A_{2j}$，再理解为「替换某一行后的行列式」。坑：$M$ 与 $A$ 差一个 $(-1{)}^{i+j}$，符号要对上。

本题考查行列式的按行展开与代数余子式。 因 $A_{2j}=(-1{)}^{2+j}{M}_{2j}$，故 $-M_{21}+M_{22}-M_{23}=A_{21}+A_{22}+A_{23}$，它等于把 $\mathbf{A}$ 第二行换成 $(1,1,1)$ 后的行列式。

即 $\left|\begin{array}{ccc}a+1& b& 3\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=0$。作 $r_3-r_2$ 后按第三行展开得 $a+1-b=0$，即 $b=a+1$。

再由 $|\mathbf{A}|=-\frac{1}{2}$ 并代入 $b=a+1$，化简得 $(b-2)(2b-3)=1$，即 $2b^2-7b+5=0$，解得 $b=1$ 或 $b=\frac{5}{2}$，对应 $a=0$ 或 $a=\frac{3}{2}$。选 B。