2024 年考研数学（三） 第 6 题

由 $P^{\mathrm{T}}A{P}^2$ 反求 $A$ → $A=(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}(\cdots )(P^2{)}^{-1}$；$P$ 是初等矩阵则逆易写。坑：$(P^2{)}^{-1}=(P^{-1}{)}^2$，别漏平方。

本题考查矩阵运算与初等矩阵。 $\mathbf{P}$ 是初等矩阵故可逆，由 ${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\mathbf{P}}^2=\mathbf{M}$ 解得 $\mathbf{A}=({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}\mathbf{M}({\mathbf{P}}^2{)}^{-1}=({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}\mathbf{M}({\mathbf{P}}^{-1}{)}^2$。

${\mathbf{P}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$，$({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。代入化简得 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)$。选 C。

初等变换视角：右乘 $\mathbf{P}$ 是「第三列加到第一列」、左乘 ${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}$ 是「第三行加到第一行」；反向还原即由 $\mathbf{M}$ 的第一行减第三行、第一列减两倍第三列，得 $\mathrm{diag}(a,b,c)$。