乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2024 年

2024 年考研数学（三）第 5 题

选择题 · 5 分

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x

在正交变换下可化为

y_{1}^{2} - 2 y_{2}^{2} + 3 y_{3}^{2}

，则二次型

f

对应的矩阵

A

的行列式与迹分别为（　　）。

A $- 6, - 2$
B $6, - 2$
C $- 6, 2$
D $6, 2$

提示 1

正交变换下二次型标准形的系数就是矩阵

A

的特征值。

提示 2

∣ A ∣ =

特征值之积。

提示 3

tr (A) =

特征值之和。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

正交变换标准形 → 系数=特征值；再用

∣ A ∣ = \prod λ_{i}

、

tr (A) = \sum λ_{i}

。坑：只有正交变换才保证系数=特征值，一般配方法不行。

解答

本题考查二次型的正交标准形与特征值。 二次型在正交变换下标准形的系数即为对称矩阵

A

的特征值，故

A

的特征值为

1, - 2, 3

。

行列式

=

特征值之积

= 1 \times (- 2) \times 3 = - 6

；迹

=

特征值之和

= 1 + (- 2) + 3 = 2

。选 C。

考点：二次型及其标准形、规范形、特征值与特征向量的概念与计算

← 2024 年全部题目