2024 年考研数学（三） 第 4 题

求 $\sum n{a}_{2n}$ 型 → 先写和函数的幂级数定出 $a_{2n}$，再代入。坑：$a_0=\ln 2$ 不参与（$n=0$ 项为 0）；区分展开指标与题中的 $n$。

本题考查函数的幂级数展开。 由 $\ln (1+u)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{u}^n(-1<u\le 1)$，

$\ln (2+x)=\ln 2+\ln \left(1+\frac{x}{2}\right)=\ln 2+{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{\left(\frac{x}{2}\right)}^n$，故 $n\ge 1$ 时 $x^{2n}$ 的系数 $a_{2n}=\frac{(-1{)}^{2n-1}}{2n\cdot 2^{2n}}=-\frac{1}{2n\cdot 4^n}$。

于是 $\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_{2n}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot \left(-\frac{1}{2n\cdot 4^n}\right)=-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^n}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1/4}{1-1/4}=-\frac{1}{6}$。选 A。