2024 年考研数学（三） 第 3 题

交换次序先还原区域再按另一变量重描述边界。坑：$y$ 下限是 $x=\pi /6$ 处的 $\sin (\pi /6)=1/2$，不是 0；$\arcsin y$ 落在 $[\pi /6,\pi /2]$ 内。

本题考查二次积分交换积分次序。 先还原积分区域 $D=\{(x,y)\mid \sin x\le y\le 1,\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{\pi }{2}\}$。

在 $[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$ 上 $\sin x$ 单调增，$y$ 从 $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 变到 $1$。改写成 Y 型：对固定 $y\in [\frac{1}{2},1]$，由 $\sin x\le y$ 且 $x\ge \frac{\pi }{6}$ 得 $\frac{\pi }{6}\le x\le \arcsin y$。

故原式 $={\int }_{1/2}^1\mathrm{d}y{\int }_{\pi /6}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$，选 A。