2024 年考研数学（三） 第 2 题

被积是周期函数、积分长度是周期的整数倍 → ${\int }_a^{a+kT}=k{\int }_0^T$，结果与起点无关。坑：$|\sin x|$ 周期是 $\pi$ 而非 $2\pi$。

本题考查周期函数定积分的性质。 由 $|\sin (x+\pi )|=|\sin x|$ 知 $|\sin x|$ 是以 $\pi$ 为周期的连续周期函数。

对以 $T$ 为周期的连续函数 $g$，有 ${\int }_a^{a+kT}g\mathrm{d}x=k{\int }_0^{T}g\mathrm{d}x$（与起点 $a$ 无关）。故 $I=k{\int }_0^{\pi }\sin x\mathrm{d}x=2k$。

因此 $I=2k$ 只与整数 $k$ 有关，与 $a$ 无关。选 B。