2024 年考研数学（三） 第 1 题

看到「${\lim }_{n\to \infty }$ 含 $x^{2n}$ 定义的函数」→ 用 $x^{2n}$ 的三段极限分段化简 $f$，再逐点验左右极限=函数值。坑：$|x|=1$ 处 $f=0$，要单独算。

本题考查用数列极限 ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{2n}$ 分段定出 $f(x)$，再判间断点。 关键是 ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{2n}=0(|x|<1),1(|x|=1),+\infty (|x|>1)$。

于是 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x,& |x|<1\\ 0,& |x|\ge 1\end{array}$。

在 $x=-1$：左极限 ${\lim }_{x\to -1^{-}}0=0$，右极限 ${\lim }_{x\to -1^{+}}(1+x)=0=f(-1)$，连续；在 $x=1$：左极限 ${\lim }_{x\to 1^{-}}(1+x)=2\ne 0=f(1)$，不连续。故选 D。