2024 年考研数学（三） 第 10 题

两独立同分布指数之差的绝对值 $|X-Y|$ 仍是同参数指数分布（无记忆性）→ 与 $X$ 同分布。坑：$X+Y$、$2X$ 都不是指数分布，别凭直觉选。

本题考查二维随机变量函数的分布。 $X,Y$ 独立同参数 $\lambda$ 指数分布，联合密度 $f(x,y)={\lambda }^2{e}^{-\lambda (x+y)}(x,y>0)$。

用定义求 $Z=|X-Y|$ 的分布函数：$z\ge 0$ 时 $F_Z(z)=P\{|X-Y|\le z\}$，借助积分区域关于 $y=x$ 的对称性得 $F_Z(z)=1-e^{-\lambda z}$；$z<0$ 时 $F_Z(z)=0$。

故 $Z$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，与 $X$ 同分布，选 D。（$X+Y$ 服从 $\Gamma$ 分布，$\frac{X+Y}{2}$、$2X$ 的分布函数均与 $Z$ 不同。）