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2024 年考研数学（三）第 11 题

填空题 · 5 分

当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x} \frac{( 1 + t ^{2} ) sin t ^{2}}{1 + cos ^{2} t} d t

与

x^{k}

是同阶无穷小，则

k =

______。

提示 1

记积分为

f (x)

，对其求导得

f^{'} (x)

（变限积分求导）。

提示 2

求

x \to 0

时

f^{'} (x)

的等价无穷小。

提示 3

由

f^{'} (x) \sim \frac{x ^{2}}{2}

积分回去得

f (x) \sim \frac{x ^{3}}{6}

，定出

k

。

答案与详解

答案 $3$

思路（为什么这么做）

变限积分求同阶无穷小 → 先对其求导降一层得

f^{'} (x) \sim c x^{m}

，再积分得

f (x) \sim \frac{c}{m + 1} x^{m + 1}

。坑：

sin t^{2} \sim t^{2}

，分母

1 + cos^{2} t \to 2

。

解答

本题考查无穷小的比阶（含变限积分）。 记

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{( 1 + t ^{2} ) sin t ^{2}}{1 + cos ^{2} t} d t

，则

f (0) = 0

，由变限积分求导

f^{'} (x) = \frac{( 1 + x ^{2} ) sin x ^{2}}{1 + cos ^{2} x}

。

x \to 0

时

f^{'} (x) \sim \frac{1 \cdot x ^{2}}{1 + 1} = \frac{x ^{2}}{2}

，即

f^{'} (x)

与

x^{2}

同阶。

于是

f (x) = \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t \sim \int_{0}^{x} \frac{t ^{2}}{2} d t = \frac{x ^{3}}{6}

，与

x^{3}

同阶，故

k = 3

。

考点：无穷小与无穷大、阶的比较、微积分基本定理与变限积分

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