2024 年考研数学（三） 第 12 题

有理反常积分 → 部分分式后分别积成 $\ln$、$\arctan$。技巧：$(x^2+4)-(x^2-1)=5$ 可直接拆，省去解系数。坑：$\ln \frac{x-1}{x+1}$ 在 $+\infty$ 处趋 0。

本题考查有理函数的反常积分。 分母 $x^4+3x^2-4=(x^2+4)(x^2-1)$，且 $(x^2+4)-(x^2-1)=5$，故 $\frac{5}{x^4+3x^2-4}=\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+4}$。

进一步 $\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$，于是原积分 $={\int }_2^{+\infty }\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)-\frac{1}{x^2+4}\right]\mathrm{d}x$。

$=\frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}{|}_2^{+\infty }-\frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2}{|}_2^{+\infty }=\left(0-\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\ln 3-\frac{\pi }{8}$。