2024 年考研数学（三） 第 13 题

二元极值：驻点 + $AC-B^2$ 判别（$>0$ 且 $A<0$ 极大，$<0$ 鞍点）。坑：本题 $(2,1)$ 是鞍点，只有 $(1,1)$ 是极（大）值点。

本题考查二元函数的无条件极值。 求驻点：$f_x=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)=0$，$f_y=-24y^3+24=0\Rightarrow y=1$。得驻点 $(1,1),(2,1)$。

二阶偏导 $f_{xx}=12x-18,f_{xy}=0,f_{yy}=-72y^2$。在 $(1,1)$：$A=-6,B=0,C=-72$，$AC-B^2=432>0$ 且 $A<0$，是极大值点。

在 $(2,1)$：$A=6,B=0,C=-72$，$AC-B^2=-432<0$，是鞍点，非极值点。故唯一极值点为 $(1,1)$。