2023 年考研数学（三） 第 21 题

「对任意 $x$ 有 $Ax=$（某表达式）」→ 直接读系数矩阵得 $A$。对角化三步：特征值（互异则稳可对角化）→ 各特征子空间求向量 → $P$ 列放向量、$\Lambda$ 对角放对应特征值。坑：$P$ 列顺序必须与 $\Lambda$ 对角元一一对应。

本题考查由线性变换定矩阵及矩阵的相似对角化。（Ⅰ）把右端写成矩阵乘向量：$\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3\\ 2x_1-x_2+x_3\\ x_2-x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$，对任意 $x$ 成立，故 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$。

（Ⅱ）特征多项式（按第三行展开）：$|\lambda E-A|=(\lambda +1)({\lambda }^2-4)=(\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda -2)$，特征值 $-2,-1,2$（互异，必可对角化）。

解 $(\lambda E-A)x=0$：$\lambda =-2$ 得 ${\xi }_1=(0,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$；$\lambda =-1$ 得 ${\xi }_2=(-1,0,2{)}^{\mathrm{T}}$；$\lambda =2$ 得 ${\xi }_3=(4,3,1{)}^{\mathrm{T}}$。

令 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 4\\ -1& 0& 3\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$（不同特征值的特征向量线性无关，$P$ 可逆），则 $P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}(-2,-1,2)$。