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2023 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 12 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = \frac{e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}, - \infty < x < + \infty

，令

Y = e^{X}

。（Ⅰ）求

X

的分布函数；（Ⅱ）求

Y

的概率密度；（Ⅲ）

Y

的数学期望是否存在？

提示 1

（Ⅰ）对密度积分，令

u = e^{t}

把

\int \frac{e ^{t}}{( 1 + e ^{t} ) ^{2}} d t

化成

\int \frac{d u}{( 1 + u ) ^{2}}

。

提示 2

（Ⅱ）

Y = e^{X} > 0

：先求

F_{Y} (y) = F_{X} (ln y) (y > 0)

再求导；或直接用单调变换公式法。

提示 3

（Ⅲ）按定义算

E (Y) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{y}{( 1 + y ) ^{2}} d y

，判断该反常积分是否收敛。

答案与详解

答案（Ⅰ） $F_{X} (x) = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}}$ ；（Ⅱ） $f_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{( 1 + y ) ^{2}}, 0, y > 0, y \leq 0$ ；（Ⅲ） $E (Y)$ 不存在。

思路（为什么这么做）

Y = g (X)

单调 → 分布函数法（

F_{Y} (y) = F_{X} (g^{- 1} (y))

）或公式法都行；判期望存在=判

\int y f_{Y} d y

收敛。坑：

\frac{y}{( 1 + y ) ^{2}} \sim \frac{1}{y} (y \to \infty)

，

\int^{\infty} \frac{1}{y}

发散，故

E (Y)

不存在——别默认连续型期望一定存在。

解答

本题考查连续型随机变量的分布函数、随机变量函数的分布与期望存在性。（Ⅰ）

F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{e ^{t}}{( 1 + e ^{t} ) ^{2}} d t

，令

u = e^{t}

：

= \int_{0}^{e^{x}} \frac{d u}{( 1 + u ) ^{2}} = - \frac{1}{1 + u}_{0}^{e^{x}} = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}}

。

（Ⅱ）

Y = e^{X} > 0

，故

y \leq 0

时

F_{Y} (y) = 0

；

y > 0

时

F_{Y} (y) = P (e^{X} \leq y) = P (X \leq ln y) = F_{X} (ln y) = \frac{y}{1 + y}

。求导得

f_{Y} (y) = \frac{1}{( 1 + y ) ^{2}} (y > 0)

，其余为

0

。（也可用单调变换公式法

f_{Y} (y) = f_{X} (ln y) \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{( 1 + y ) ^{2}}

。）

（Ⅲ）若期望存在则

E (Y) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{y}{( 1 + y ) ^{2}} d y = \int_{0}^{+ \infty} (\frac{1}{1 + y} - \frac{1}{( 1 + y ) ^{2}}) d y = [ln (1 + y) + \frac{1}{1 + y}]_{0}^{+ \infty} = + \infty

，该反常积分发散，故

E (Y)

不存在。

考点：随机变量函数的分布、连续型随机变量及其概率密度、数学期望

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