2022 年考研数学（三） 第 9 题

看到「独立同分布 + $\frac{1}{n}\sum g(X_i)$ 依概率收敛」直接套辛钦大数定律：极限 $=E[g(X_1)]$。这里 $g(x)=x^2$，故算 $E(X^2)=\int x^{2}fdx$。坑：要的是 $E(X^2)$ 而非 $E(X)$（本题 $E(X)=0$）；用偶函数对称性简化积分。

本题考查辛钦大数定律与期望的计算。 由于 $X_1,X_2,\cdots$ 独立同分布，$X_1^2,X_2^2,\cdots$ 也独立同分布。辛钦大数定律给出：$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛于 $E(X_1^2)$。

计算 $E(X_1^2)={\int }_{-1}^1{x}^2(1-|x|)dx$。被积函数为偶函数，故
$$E(X_1^2)=2{\int }_0^1{x}^2(1-x)dx=2{\int }_0^1(x^2-x^3)dx=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=2\times \frac{1}{12}=\frac{1}{6}.$$

因此 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2\stackrel{P}{\to }\frac{1}{6}$。故选 B。