2022 年考研数学（三） 第 8 题

求线性组合的方差：$D(aX+bY+c)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2ab\mathrm{Cov}$。常数丢掉，系数平方，不相关则协方差项为零。坑：$N(0,4)$ 的 $4$ 是方差不是标准差；二项分布方差别漏了 $(1-p)$。

本题考查方差的性质与常见分布的数字特征。 需用 $D(aX+bY+c)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$，常数不影响方差。

由 $X\sim N(0,4)$ 知 $D(X)=4$（正态 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的方差是第二个参数）。由 $Y\sim B\left(3,\frac{1}{3}\right)$ 知 $D(Y)=np(1-p)=3\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。

$X,Y$ 不相关 $\Rightarrow \mathrm{Cov}(X,Y)=0$。于是
$$D(X-3Y+1)=D(X-3Y)=D(X)+9D(Y)-6\mathrm{Cov}(X,Y)=4+9\times \frac{2}{3}-0=4+6=10.$$
故选 D。